Perhatian !

Blog sedang diperbaiki, kami mohon maaf apabila ada kesalahan dalam penampilan konten blog ini, terima kasih..

Senin, 29 April 2013

Aljabar Linear


Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Persamaan Linear dengan Matriks.
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan :

3x1 + 4x2 - 2x3 = 5

x1 - 5x2 + 2x3 = 7

2x1 + x2 - 3x3 = 9

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
  1. Bentuk Eselon-baris, Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

    • Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1.
    • Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
    • Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
    • Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi 

  2. Operasi Eliminasi Gauss 

  3. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

  4. Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

  5. Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
    Operasi Dalam Matriks

    Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

    Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :

    A + B = B + A

    A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

    k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

    Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj

    Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

    1. Matriks Diagonal
    2. Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal

    3. Matriks Segitiga
    4. Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

      [Teorema]

      Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
      • Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
      • Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
      • Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

    Transpos Matriks

    Yang dimaksud dengan Transpos dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

    Determinan

    1.  Orde 2x2
    2.           Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

    3. Orde 3x3
    4. Determinan dengan Ekspansi Kofaktor, Terbagi tiga jenis yaitu:
      • Dengan Minor dan Kofaktor
      • Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
      • Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

    Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

    Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

    Determinan Matriks Segitiga Atas (Multi Orde)

    Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka  adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

    Matriks Balikan (Invers)

    Orde 2x2

    JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan  ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan  . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

    [Vektor dalam Ruang Euklidian]

    Euklidian dalam n-Ruang

    Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.

    Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.

    Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.

    Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

    • Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector  dalam  dalam setiap  adalah nilai yang terukur.
    • Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel  dalam setiap  adalah jumlah truk dalam depot pertama dan  adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
    • Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam  dan tegangan output bisa ditulis sebagai . Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input  dalam  ke vector keluaran  dalam.
    • Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk  dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
    • Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisis ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel  dalam setiap angka  adalah output dari sektor individual.
    • Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah  dan kecepatan mereka adalah  . Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector Dalam  . Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.
    • Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi Menemukan norm dan jarak

    Bentuk Newton

    interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).

    Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0

    bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0

    dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi

    p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :

    p(x0)=b0

    p(x1)=b1h1+b0

    p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0

    p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0

    sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

    Operator Refleksi

    Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:

    x1 = -x = -x + 0y

    x2 = y = 0x + y

    atau dalam bentuk matrik :

    Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.

    Operator Proyeksi

    Berdasarkan operator T:R2 -> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:

    x1 = x = x + 0y

    x2 = 0 = 0x + 0y

    atau dalam bentuk matrik :

    Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah:

    Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.

    Operator Rotasi

    Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ? disebut operator rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ? positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ? adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos T ; y = r cos T dan w1 = r cos (? + ?) ; w2= r sin (? + ?)

    Menggunakan identitas trigonometri didapat:

    w1 = r cos ? cos ? - r sin ? sin ?

    w2 = r sin ? cos ? + r cos ? sin ?

    kemudian disubtitusi sehingga:

    w1 = x cos T - y sin T

    w2 = x sin T + y cos T

    Cukup Sekian yang dapat saya jelaskan, dan apabila anda masih kurang memahami silakan download File Word yang telah dilengkapi dengan contoh-contoh serta caranya :

    Download !
     

1 komentar:

  1. Very soon this web site will be famous among all blog viewers, due to it's pleasant posts

    Also visit my web-site ... Arthur Falcone

    BalasHapus